La renormalisation vue à travers des exemples (2)

Le deuxième cours a été essentiellement consacré à la renormalisation dans l’espace réel. dans le cas du modèle d’Ising, l’idée originale due à Kadanoff consiste à regrouper par blocs les spins qui prennent les valeurs ± 1 en blocs (par exemple en blocs de 5 spins) et à définir pour chaque bloc un spin renormalisé égal au signe de la somme des spins du bloc. La principale difficulté de cette approche est la profilération du nombre de couplages (c’est-à-dire des interactions effectives entre les spins renormalisés) qui ne permet pas d’itérer la transformation de renormalisation de manière exacte. On doit alors procéder à des approximations qui consistent à négliger certaines interactions pour pouvoir répéter cette renormalisation par bloc. d’un point de vue théorique, les physiciens se sont intéressés à des modèles de spins sur des réseaux hiérarchiques, dont le principal intérêt est d’éviter la prolifération de ces couplages par renormalisation : d’une certaine manière, les réseaux hiérarchiques sont taillés sur mesure pour la renormalisation. Pour ces réseaux, on peut écrire de manière explicite la transformation des couplages par renormalisation. On en déduit ainsi les valeurs exactes des exposants et on peut décrire avec précision le comportement critique de l’énergie libre au voisinage de la transition. Contrairement à la renormalisation dans l’espace réel, pour les réseaux euclidiens, la renormalisation dans l’espace de Fourier permet de limiter le nombre de couplages lors de la renormalisation lorsqu’on est proche de la dimension supérieure. En prenant l’exemple du modèle d’Edwards qui permet de modéliser une chaîne polymérique en solution, il a été montré comment la dimension critique supérieure d_c = 4 apparaît dans ce type de problème.