Résumé
Le premier cours a commencé par une introduction au groupe de renormalisation. C’est une approche omniprésente en physique statistique, importée de la théorie des
champs où elle permet de s’affranchir des divergences à courte distance. Même si les idées à la base de la renormalisation sont assez simples, leur mise en œuvre est souvent techniquement assez compliquée. Le but de cette série de cours a été d’expliquer comment cette approche conduit au calcul les comportements critiques caractéristiques des transitions de phase du second ordre et comment la notion d’universalité en découle assez naturellement. L’idée principale du groupe de renormalisation est d’essayer de relier les propriétés à grande échelle d’un système de taille L en dimension d, c’est-à-dire de volume Ld, pour certains choix de paramètres, à celles d’un système plus petit, de taille L/b et donc de volume (L/b)d, avec des valeurs de paramètres modifiées. Plus précisément, on cherche à trouver pour quels choix T′, h′, ρ′ de paramètres comme la température T, le champ magnétique h, la densité ρ, les propriétés à grande échelle d’un système de taille L/b sont semblables à celles d’un système de taille L pour un choix T, h, ρ de ces paramètres. On voit que si on parvient à trouver la fonction Rb qui relie les paramètres renormalisés T′, h′, ρ′… aux paramètres de départ T, h, ρ…
(T′, h′, ρ′…) = Rb(T, h, ρ…)
on peut itérer la transformation de renormalisation et relier ainsi le système de taille L à des systèmes de taille L/b, L/b2 … L/bn. Toute la difficulté est de trouver la transformation de renormalisation Rb. Ce premier cours a montré comment déterminer cette fonction Rb de manière approchée dans le cas de trois exemples : la percolation, la transition liquide-gaz et la transition vers le chaos par doublement de période. Une fois la transformation Rb de renormalisation connue, les points fixes attractifs correspondent aux phases possibles tandis que les points fixes hyperboliques représentent les transitions. En particulier les surfaces critiques sont données par les variétés stables des points fixes hyperboliques, ce qui permet d’expliquer l’universalité des comportements critiques : des points de départ différents sur cette variété stable convergent vers le même point fixe et ont ainsi les mêmes comportements à grande échelle. Quant aux exposants critiques, ils peuvent être calculés à partir des valeurs propres instables de ces points fixes hyperboliques.
