Résumé
Dans cet exposé, je présenterai des résultats concernant une approche constructive du théorème de Krein-Rutman motivé par l’analyse asymptotique d’EDP d’évolution. Ces résultats ont été obtenus dans un travail récent réalisé en collaboration avec C. Fonte et P. Gabriel. Dans ce travail, nous développons, d’une part, une théorie générale dans un cadre abstrait qui permet de démontrer l’existence d’un « premier triplet propre » associé au générateur d’un semi-groupe positif valable y compris dans des cas faiblement dissipatifs où la première valeur propre ne se détache pas du reste du spectre. Cette approche permet de retrouver et de préciser la théorie classique. Nous montrons également des résultats de stabilité de la première fonction propre et de retour avec taux constructif. Nous illustrons, d’autre part, notre approche en l’appliquant à plusieurs EDP d’évolution. Nous considérerons des équations paraboliques dans différentes situations incluant le cas de coefficients peu réguliers dans un domaine borné et le cas d'un champ peu confinant dans tout l'espace. Notre approche s’applique également à des modèles de transport généraux, à des équations de croissance-fragmentation, à des équations cinétiques, à des équations de type Fokker-Planck cinétique posées dans un domaine avec conditions de réflexion, à des modèles de sélection-mutation. Dans tous ces exemples, nous sommes capables de généraliser et/ou de préciser les résultats antérieurs.
