Les équations aux dérivées partielles sont apparues au XVIIIe siècle avec notamment l’introduction par L. Euler des premiers modèles du mouvement des fluides. L’utilisation de modèles mathématiques reposant sur des équations aux dérivées partielles (le plus souvent non linéaires) a été longtemps l’apanage des physiciens, mécaniciens et mathématiciens. Et elle a connu un essor considérable au XXe siècle en permettant l’étude de très nombreux problèmes en physique et en mécanique bien sûr, mais aussi, en économie, en météorologie, en biologie, en finance, dans les sciences de l’ingénieur, en géométrie, en théorie des probabilités, en climatologie…
À ce foisonnement d’applications correspond un foisonnement d’outils, de théories et de méthodes mathématiques. Les progrès ont été et sont considérables même si de nombreux problèmes restent mal compris du point de vue mathématique. À titre d’exemple, les équations introduites par L. Euler en 1755, et pour lesquelles il signale « une certaine difficulté mathématique », ne sont pas encore aujourd’hui complètement comprises du point de vue mathématique.
Grâce à l’apparition et au développement des ordinateurs, les modèles mathématiques sont de plus en plus utilisés dans les applications de par les possibilités offertes par les simulations numériques, dont la justification mathématique rejoint l’analyse des équations.
Les grandes questions qui se posent sur chacune de ces équations ou classes d’équations sont toujours : l’existence, l’unicité, la stabilité et l’approximation numérique des solutions.
Le cours porte sur ces questions en abordant successivement différents modèles ou équations. Le séminaire associé, à travers des exposés de mathématiciens mais aussi d’ingénieurs ou de scientifiques, permet d’explorer ce large domaine aussi bien du point de vue mathématique que du point de vue des applications.
