Résumé
Ce cours a été consacré à la recherche de manifestations concrètes de la topologie d’une bande d’énergie dans un problème unidimensionnel. Le point central a porté sur l’existence d’états de bord robustes, apparaissant à l’interface entre deux phases de topologies différentes. Dans un premier temps, nous nous sommes concentrés sur le modèle d’une chaîne SSH dont nous avons approfondi la caractérisation en termes d’enroulement autour de la sphère de Bloch. Nous avons montré l’existence possible d’états de bord robustes, pour un segment fini de la chaîne ou dans une géométrie semi-infinie. Nous avons ensuite abordé la description d’une expérience menée avec de la lumière en 2017 en France, qui a tiré parti des états de bord pour réaliser un laser topologique. Dans la dernière partie du cours, nous avons comparé cette chaîne SSH avec un autre système modèle remarquable, introduit par Alexei Kitaev pour décrire un supraconducteur topologique à une dimension. Nous avons montré que les états de bord ont alors des propriétés très particulières, décrites par des modes de quasi-particules pour lesquelles opérateurs de création et de destruction coïncident. Ces modes sont baptisés modes de Majorana, par analogie avec le formalisme présenté Ettore Majorana pour analyser l’équation de Dirac. L’étude de ces deux modèles nous a donné l’occasion d’aborder l’importance des symétries dans la stabilité des phases topologiques. Il s’agit de la symétrie de sous-réseau pour le modèle SSH, et de la symétrie particule-trou pour le modèle de Kitaev. Tant que le système possède cette symétrie, les phases topologiques trouvées sont robustes : elles ne peuvent se transformer en une phase normale qu’en fermant un gap entre deux bandes d’énergie, ce qui impose une modification radicale des paramètres de l’hamiltonien.
