Résumé
À partir de ce cours, nous nous sommes tournés vers l’étude de systèmes topologiques à deux dimensions. Cette géométrie bidimensionnelle a joué un rôle majeur dans l’émergence de concepts topologiques en physique, avec la découverte de l’effet Hall quantique pour les gaz d’électrons confinés dans des puits quantiques. Elle permet de caractériser les phases topologiques par leurs propriétés de transport, ce qui n’était pas possible à une dimension ; par ailleurs, elle donne naissance à des nombres topologiques (indices de Chern) plus « robustes » que la phase de Zak qui restait dépendante de la paramétrisation choisie pour un problème physique donné. Nous avons considéré une bande d’énergie isolée et nous avons cherché à caractériser la topologie de cette bande. Nous avons apporté deux types de réponse. La première est mathématique et directement inspirée de ce que nous avons compris pour les pompes géométriques, concernant la couverture de la sphère de Bloch. La seconde réponse est physique et porte sur les propriétés de transport que l’on peut attendre pour ces systèmes. Bien entendu, les deux types de réponses conduisent in fine à la même caractérisation. Pour simplifier notre analyse, nous avons étudié majoritairement des systèmes discrets avec des couplages tunnels n’autorisant des sauts qu’entre sites voisins. Cela nous a permis d’utiliser l’approximation des liaisons fortes et de mener presque tous les calculs de manière analytique. Nous avons également recherché les géométries les plus simples permettant l’apparition d’une topologie non triviale. Comme à 1D, cela nous a conduit à considérer un réseau avec deux sites possibles par cellule unité. Ce type de réseau mène naturellement à l’émergence de points de Dirac dans une géométrie bidimensionnelle, et c’est donc par cette notion que nous avons commencé notre étude, avant de passer à la caractérisation de la topologie.
