Résumé
Nous avons abordé dans ce dernier cours le problème qui est en fait à l’origine de la notion de bandes topologiques : l’effet Hall quantique. C’est en effet l’analyse du mouvement quantique à deux dimensions d’un ensemble de charges placées dans un champ magnétique qui a montré la quantification de grandeurs liées au transport, comme la conductivité de Hall. C’est également cette analyse qui a mis en avant l’importance des états de bord et qui a permis de dégager la notion de robustesse topologique en physique de la matière condensée. A priori, l’étude de l’effet Hall quantique ne nécessite pas de réseau sous-jacent. Toutefois, pour faire le lien avec les cours qui précèdent, nous nous sommes concentrés sur le cas où un potentiel périodique est également présent. La possibilité de traiter ce potentiel dans la limite des liaisons fortes permet alors de simplifier considérablement l’analyse : c’est le modèle de Harper-Hofstadter. Une fois ce modèle posé, nous avons étudié ses implémentations récentes (2015-2018) en physique atomique et en photonique. Nous avons montré comment elles ont permis la mesure explicite du nombre de Chern des bandes d’énergie. Nous avons également décrit comment les états de bord associés à cette topologie non triviale permettent de réaliser de nouveaux dispositifs, des lasers topologiques, qui exploitent la robustesse des bandes ainsi formées.
