Résumé
L’invariance d’échelle est un concept que l’on rencontre dans de nombreuses branches de la physique, depuis le comportement d’un système au voisinage d’une transition de phase jusqu’à la physique des hautes énergies. Dans ce dernier cours, nous l’avons abordée sous l’angle de la théorie de champ classique utilisée jusqu’ici pour décrire un gaz de Bose à deux dimensions. Elle consiste à tirer parti du fait que les différentes contributions à l’énergie du fluide se comportent de manière très simple quand on multiplie plusieurs variables thermodynamiques par un même facteur d’échelle. Cette invariance d’échelle a également des conséquences sur les propriétés dynamiques du système. Nous en avons donné un exemple à propos du « mode de respiration » d’un gaz confiné dans un piège harmonique isotrope, qui oscille toujours à la fréquence double de celle du piège, quelle que soit la force des interactions. Les résultats que nous venons de mentionner portent sur un fluide décrit par un champ classique, dans lequel les interactions sont prises en compte par un paramètre constant et sans dimension. Décrire les interactions de cette façon revient à supposer que le potentiel entre atomes est proportionnel à une distribution de Dirac à deux dimensions. Toutefois, cette approche est singulière sur le plan quantique et il est nécessaire de régulariser la distribution de Dirac. On se retrouve alors face à un phénomène connu sous le nom d’« anomalie quantique » : on part d’un problème qui présente une symétrie exacte au niveau classique, en l’occurrence l’invariance d’échelle. Mais la quantification du problème nécessite une régularisation pour éliminer certaines divergences. L’anomalie réside alors dans le fait que la version régularisée amène obligatoirement une brisure de la symétrie initiale. Dans le cas du gaz 2D, la régularisation du potentiel de contact introduit nécessairement une énergie qui brise l’invariance d’échelle trouvée avec le champ classique. Après avoir décrit en détail cette procédure de régularisation, nous avons terminé ce cours en examinant les conséquences de la brisure de l’invariance d’échelle sur le mode de respiration.
