Résumé
La méthode des polynômes n’est pas tant une méthode qu’un ensemble diversifié de techniques permettant de résoudre des problèmes combinatoires en trouvant les polynômes associés et en exploitant leurs propriétés. Par exemple, de simples arguments d’algèbre linéaire peuvent être utilisés pour montrer que pour tout petit ensemble, il y aura un polynôme non trivial de bas degré (dans de nombreux contextes, un polynôme en plusieurs variables) qui disparaît sur cet ensemble. Si l’ensemble a d’autres propriétés, cela peut être une information suffisante pour obtenir une contradiction, puisque les polynômes sont des objets « rigides », dans le sens où la connaissance de certaines de leurs valeurs en détermine beaucoup d’autres. Parmi les résultats discutés dans cette conférence, on trouve la solution de Dvir au problème de Kakeya en champs finis et une limite supérieure exponentiellement petite, due à Ellenberg et Gijswijt, pour la version en champs finis du théorème de Roth sur les progressions arithmétiques.
