L'anatomie computationelle est une discipline émergente à l'interface de la géométrie, des statistiques, de l'analyse d'images et de la médecine dont l'objectif est de modéliser la variabilité biologique des organes. On s'intéresse par exemple à la forme moyenne et à ses variations dans une population, de manière à décrire et à quantifier les variations ou les évolutions normales et pathologies. Cet exposé met l'accent sur la dimension statistique de l'anatomie algorithmique et décrit les bases géométriques qui ont permis de faire des avancées algorithmiques notables au cours de ces dernières années.
Pour analyser la variabilité des formes, on identifie en général des primitives géométriques décrivant localement l'anatomie (courbes, surfaces, déformations) et on cherche à modéliser leur distribution statistique dans la population. Une difficulté importante est que ces objets géométriques appartiennent en général à des espaces non-linéaires alors que les statistiques ont été essentiellement développées dans un cadre vectoriel. Par exemple, additionner ou soustraire deux courbes n'a pas vraiment de sens. On ne peut donc pas facilement parler de leur moyenne ! II convient donc de redéfinir le cadre mathématique dans lequel nous devons développer nos algorithmes.
Les espaces dans lesquels vivent les formes sont toutefois souvent localement Euclidiens, et une mesure de distance infinitésimale (une métrique) permet de les munir d'une structure de variété Riemannienne. Celle-ci permet de mesurer des directions, des angles, des distances intrinsèques et les plus courts chemins géodésiques, généralisant ainsi la géométrie de l'espace à des espaces courbes dont la sphère ou la selle de cheval sont les exemples les plus simples. Sur cette base, on peut redéfinir des notions statistiques consistantes. Par exemple, la moyenne de Fréchet est l'ensemble des points minimisant la somme du carré des distances aux observations. Lorsque la moyenne est calculée, on peut ensuite développer la variété linéairement autour de ce point et revenir aux notions statistiques classiques pour les moments d'ordre supérieur. On a, en quelques sortes, corrigé la non-linéarité de notre espace.
