Résumé
L’hydrodynamique fluctuante permet de décrire les propriétés à grande échelle des systèmes diffusifs à travers l’évolution bruitée de deux champs : la densité et le courant qui sont liés par une loi de conservation. Il n’est pas toujours facile de déduire les équations de l’hydrodynamique fluctuante à partir d’un modèle microscopique. Ceci est néanmoins possible pour des modèles suffisamment simples comme l’exclusion symétrique et relativement facile à faire pour des marcheurs indépendants.
Après avoir introduit les différentes propriétés des systèmes diffusifs que l’on peut déterminer en utilisant l’hydrodynamique fluctuante (quasi-potentiel, trajectoires d’apparition et de relaxation des fluctuations, fonctions de grande déviation du courant, celles des profils de densité empiriques), le quatrième cours a permis de montrer comment les profils moyens de densité ou les corrélations des fluctuations de densité peuvent être obtenus. La limite d’un grand système se traduit par une limite de faible bruit au niveau de l’hydrodynamique fluctuante. Dans cette limite, comme on le voit facilement dans le cas d’une équation de Langevin dans la limite d’un faible bruit, le problème se réduit le plus souvent à trouver la trajectoire qui minimise une certaine action. On peut ainsi utiliser les outils de la mécanique analytique et du principe de moindre action.
Les cas particuliers d’un double puits où l’idée d’une trajectoire optimale n’est pas suffisante ou celui d’un système hors d’équilibre où le quasi-potentiel est non analytique ont également été discutés.
