Résumé
Le deuxième cours a été consacré aux modèles unidimensionnels de solides isolants. On peut décrire l’expression du flux de chaleur comme la moyenne du travail de la force exercée sur un atome par son voisin de gauche. La difficulté est que (contrairement aux systèmes à l’équilibre), on ne dispose pas d’expression explicite de la mesure stationnaire. Seulement dans le cas de la chaîne harmonique avec des thermostats représentés par des forces de Langevin, cette mesure stationnaire qui est gaussienne peut être calculée. Le problème de la chaîne harmonique est que les différents modes n’interagissent pas entre eux, ce qui fait que pour une chaîne périodique la dynamique ne permet pas l’équilibration.
Dans le cas de la chaîne anaharmonique la question de l’atteinte de l’équilibre et de l’équipartition de l’énergie entre les modes remonte au milieu des années 1950 avec la chaîne de Fermi-Pasta-Ulam. Certaines chaînes anaharmoniques, comme la chaîne de Toda, sont intégrables et possèdent ainsi une infinité de quantités conservées ce qui, comme la chaîne harmonique, l’empêche de s’équilibrer. En dehors de ces cas intégrables, on observe en général dans les simulations de chaînes anaharmoniques une loi de Fourier anormale avec comme principales caractéristiques : un courant qui décroît comme une loi de puissance non entière de la taille, un profil de température non linéaire même lorsque les températures des thermostats sont proches, des corrélations de courant qui décroissent algébriquement, des fluctuations qui s’amortissent avec une loi de diffusion où le laplacien est remplacé par un laplacien fractionnaire.
Le cours s’est terminé en mentionnant certains modèles introduits au cours des dernières années comme la chaîne HCME, qui sont des chaînes harmoniques auxquelles on rajoute un élément stochastique en échangeant à des temps aléatoires les impulsions de sites voisins. Ces chaînes d’oscillateurs, plus simples que les chaînes anaharmoniques, conservent l’énergie et l’impulsion et présentent la plupart des caractéristiques de la loi de Fourier anormale.
