Résumé
Nous commençons la démonstration du fait que, pour une surface hyperbolique aléatoire de grand genre, le trou spectral est proche de 1/4, avec une probabilité qui tend vers 1. La « méthode des traces » consiste à contrôler le trou spectral grâce par le nombre de grandes géodésiques périodiques, ici grâce à la formule des traces de Selberg.
Il est nécessaire de se débarrasser de contributions exponentielles qui viennent de la présence de 0 comme valeur propre « triviale » du côté spectral, et des géodésiques simples du côté géométrique. Nous expliquons d'abord la méthode de Wu & Xue, qui démontrent que le trou spectral est supérieur à 3/16. Pour aller plus loin, il faut cependant se débarrasser des contributions exponentielles qui viennent de tous les types possibles de topologies de géodésiques périodiques : un calcul apparemment insurmontable. Nous reprenons l'idée de Friedman pour « contourner » ce problème : le but sera désormais de faire un développement asymptotique à tout ordre des « fonctions volume », puis de montrer que les coefficients ont la propriété de Friedman-Ramanujan, sans calculer explicitement ces coefficients. C'est cette propriété, ainsi que le choix d'une fonction test spécifique, qui permettra d'annuler les termes exponentiels.
Références
N. Anantharaman, L. Monk, Friedman-Ramanujan functions in random hyperbolic geometry and application to spectral gaps https://arxiv.org/abs/2304.02678
N. Anantharaman, L. Monk, Friedman-Ramanujan functions in random hyperbolic geometry and application to spectral gaps II, en préparation
N. Anantharaman, L. Monk,Spectral gap of random hyperbolic surfaces, https://arxiv.org/abs/2403.12576
Y. Wu, Y. Xue, Random hyperbolic surfaces of large genus have first eigenvalues greater than 3/16 - epsilon, GAFA 2022
M. Lipnowski, A. Wright, Towards optimal spectral gaps in large genus, Ann. Probab. 2024
