Résumé
Nous venons de définir la notion de « type topologique local » pour une courbe fermée tracée sur une surface. Nous définissons la « fonction volume » associée (pour les courbes simples, on retombe sur les polynômes de volume de Mirzakhani). Nous donnons de premières bornes sur ces fonctions volume, qui peuvent servir à étudier la statistique du spectre des longueurs des surfaces hyperboliques aléatoires. Nous démontrons par exemple le théorème de Mirzakhani-Petri, selon lequel le spectre des longueurs converge en distribution, et quand le genre tend vers l'infini, vers un processus ponctuel de Poisson. Enfin (et indépendamment de ces techniques), nous démontrons que la constante de Cheeger d'une surface aléatoire de grand genre reste loin de zéro, ce qui montre aussi l'existence d'un trou spectral.
Références
N. Anantharaman, L. Monk, Friedman-Ramanujan functions in random hyperbolic geometry and application to spectral gaps https://arxiv.org/abs/2304.02678, Sections 4 et 5
M. Mirzakhani, B. Petri, Lengths of closed geodesics on random surfaces of large genus, Comment. Math. Helv. 94 (2019)
M. Mirzakhani, Growth of Weil-Petersson Volumes and Random Hyperbolic Surface of Large Genus, J. Differential Geom. 2013, Section 4.5
