Résumé
Nous décrivons succinctement un autre modèle probabiliste, le modèle de revêtements aléatoires d'une surface hyperbolique, afin de pouvoir énoncer les théorèmes de Magee-Naud-Puder et Magee-Hide concernant le trou spectral de ces surfaces.
Nous passons enfin à la description de la mesure de Weill-Petersson sur l'espace des modules des structures hyperboliques, sur une surface compacte orientée.
Cet espace des modules étant défini comme quotient de l'espace de Teichmüller, il nous faudra développer quelques formules de base concernant l'intégration sur des espaces quotients.
Références
M. Magee, F. Naud, D. Puder, A random cover of a compact hyperbolic surface has relative spectral gap 3/16-epsilon. Geometric and functional analysis 2022, Théorème 1.5
W. Hide, M. Magee, Near optimal spectral gaps for hyperbolic surfaces, Annals of Math. 2023, Théorème 1.1
P. Buser, Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces, début du Chapitre 6
S. Wolpert, On the Weil-Petersson geometry of the moduli space of curves, American J. of Math. 1985
