Résumé
Nous poursuivons l'étude de l'asymptotique en grand genre des volumes des espaces de modules, d'après Mirzakhani et Mirzakhani-Zograf. Nous en déduisons quelques propriétés asymptotiques des surfaces hyperboliques aléatoires en grand genre: nous calculons par exemple l'espérance du nombre de géodésiques fermées simples (séparantes ou non-séparantes) de longueur donnée. Nous attaquons ensuite l'étude statistique du spectre des longueurs, en incluant même les géodesiques non-simples. En suivant les travaux de Anantharaman-Monk, nous définissons la notion de « type topologique local » pour une géodésique périodique, et exprimons l'espérance du nombre de géodédiques fermées de longueur donnée et de type topologique local donné.
Références
M. Mirzakhani, Growth of Weil-Petersson Volumes and Random Hyperbolic Surface of Large Genus, J. Differential Geom. 2013.
N. Anantharaman, L. Monk, A high-genus asymptotic expansion of Weil–Petersson volume polynomials, J. Math. Phys. 2022
N. Anantharaman, L. Monk, Friedman-Ramanujan functions in random hyperbolic geometry and application to spectral gaps, ArXiv 2023, § 4 et 5
