Problèmes de réaction-diffusion : de la dynamique des fronts aux généalogies (5)

Le cinquième cours a commencé par la description de quelques modèles d’évolution avec ou sans sélection. Dans le cas neutre, comme dans le modèle de Wright Fisher, l’évolution stochastique de la proportion d’une population portant un allèle est donnée par l’équation de Kimura. En présence de sélection, le modèle le plus simple où la fécondité (fitness) est indépendante du temps et en l’absence de mutations, on peut montrer que la fécondité moyenne de la population augmente avec le temps comme le prédit le théorème de la sélection naturelle de Fisher. Si on prend en compte les mutations, on aboutit à la notion de quasi-espèce de Eigen autour des points de fécondité localement maximale, avec des transitions rares d’un maximum vers un maximum plus élevé dues aux mutations. La dynamique de ces modèles d’évolution rappelle beaucoup la dynamique des verres qui se bloquent dans des minima locaux d’énergie libre avant que des fluctuations rares leur permettent de trouver des minima plus profonds. Le cours s’est poursuivi en introduisant des modèles d’évolution avec sélection comme le problème de la propagation d’un gène dans une population ou le N-BBM (le N mouvement brownien branchant). Ces modèles aboutissent à des équations de type Fisher-KPP bruitées, un sujet qui a motivé de nombreux travaux au cours de ces dernières années. Après avoir introduit l’idée du cut-off qui permet d’expliquer la vitesse de ces fronts en présence de bruit, le cours s’est terminé en discutant un modèle de sélection plus simple que le N-BBM, avec un mouvement brownien branchant où la sélection est due à un mur absorbant qui avance à une vitesse constante.