Problèmes de réaction-diffusion : de la dynamique des fronts aux généalogies (4)

Le quatrième cours a été entièrement consacré au mouvement brownien branchant. Après avoir rappelé la théorie d’Einstein du mouvement brownien, le cours a commencé par une discussion des processus de branchement comme le processus de Galton-Watson. Le lien entre le mouvement brownien branchant et l’équation de Fisher-KPP. Le lien (McKean 1975) entre le mouvement permet de déterminer la distribution de la position de la particule la plus à droite. Il permet aussi de comprendre la distribution des distances entre les particules les plus à droite et de relier les moyennes de ces distances au décalage de la position du front quand on modifie la condition initiale de l’équation de Fisher-KPP. Cette distribution des distances est donnée par un processus de Poisson décoré de densité exponentielle. Le cours s’est terminé en montrant comment les résultats connus sur le mouvement brownien branchant peuvent s’étendre au cas de marches aléatoires branchantes et comment les questions relatives aux extrêmes du mouvement brownien branchant se généralisent au cas du champ libre gaussien et aux temps de première visite d’une marche aléatoire sur un réseau bidimensionnel.