Après avoir rappelé les nombreuses situations pouvant être décrites par des équations de réaction-diffusion (chimie, physique, biologie, écologie, sociologie, généalogies) et les différents types d’approches théoriques utilisées (systèmes dynamiques, équations aux dérivées partielles, équations stochastiques, approximations de champ moyen, solutions exactes, simulations, renormalisation), ce cours a commencé par présenter quelques exemples : les réactions chimiques avec la loi d’action de masse de Gulberg et Waage (1864), les modèles d’évolution en écologie comme les équations de Lotka-Volterra (1910) pour un système prédateurs-proies, les modèles d’infection en biologie.
Pour les problèmes de réaction-diffusion, deux aspects importants que les descriptions de type champ moyen négligent sont les fluctuations et les dépendances spatiales. Le cours s’est poursuivi par une discussion plus détaillée des réactions de type A + A → A qui apparaît dans des problèmes de polymérisation, de coagulation, de généalogies, A + A ⇌ ∅ qui décrit l’adsorption et la désorption de molécules diatomiques à la surface d’un métal, A + B → 2A qui modélise la propagation d’une infection ou d’une opinion dans une population, A + B → ∅ qui représente les réactions dans un milieu composé de matière et d’antimatière. Pour tous ces modèles, les lois d’action de masse, obtenues en faisant une approximation de champ moyen, ne prédisent correctement les comportements aux longs temps qu’au-dessus d’une dimension critique supérieure dc. Au-dessous de cette dimension critique (dc = 2 pour A + A → A ou A + A → ∅ et dc = 4 pour A + B → ∅), le rôle des fluctuations ne peut plus être négligé. Un argument simple permet cependant de prédire les comportements asymptotiques pour les dimensions inférieures à la dimension critique. Le cours s’est terminé en montrant comment des modèles microscopiques de réaction-diffusion peuvent être décrits de manière exacte par des équations aux dérivées partielles stochastiques, avec dans des cas comme A + A → ∅ un bruit blanc gaussien imaginaire.
