Le cours précédent a considéré les surfaces de l’espace de dimension 3 mais il est utile de trianguler des surfaces plongées dans des espaces de plus grandes dimensions. Des espaces de dimensions supérieures à 3 se rencontrent naturellement quand on s’intéresse aux systèmes dynamiques et à la modélisation du mouvement des systèmes articulés. Un exemple est donné par l’étude des paysages énergétiques des molécules. Une molécule est un ensemble d’atomes animés de mouvements (d’ampleur limitée) les uns par rapport aux autres. Les différentes positions prises par la molécule lorsque ces déformations se produisent s’appellent les conformations de la molécule. À chaque conformation, on peut associer une énergie. On obtient ainsi le paysage énergétique de la molécule dont la compréhension reste un défi majeur en chimie et en biologie. Le cours généralise les résultats du cours précédent et aborde l’approximation d’objets géométriques généraux de dimensions quelconques.
Il faut pour cela introduire des concepts de topologie algorithmique et développer une théorie de l’échantillonnage géométrique au-delà du cas des surfaces de l’espace à trois dimensions. Ceci est fait à travers la notion de fonction distance qui conduit à des résultats mathématiques très généraux. Leur mise en œuvre algorithmique est cependant délicate et le fléau de la dimension rend les techniques utilisées en petites dimensions trop coûteuses en grandes dimensions (elles dépendent exponentiellement de la dimension ambiante). Le cours montre comment le fléau de la dimension peut être contourné si on restreint les objets d’étude à des variétés de complexité bornée. On peut notamment reconstruire efficacement des sous-variétés de petites dimensions intrinsèques à partir de nuages de points plongés dans des espaces de très grandes dimensions. On peut également construire des maillages anisotropes et construire des triangulations de Delaunay de variétés riemanniennes.
