Courbes et surfaces

Les cours précédents ont posé les bases de la géométrie algorithmique. Les cours qui suivent vont s’attacher à la construction de modèles informatiques représentant les formes géométriques complexes que l’on peut aujourd’hui numériser comme des pièces mécaniques, des organes ou des monuments. Une question centrale est celle de l’échantillonnage géométrique et du passage du continu au discret. La question de l’échantillonnage – qui a une longue histoire en traitement du signal – et des images – après les travaux fondateurs de Claude Shannon dans les années 1950 – est beaucoup plus récente en géométrie et requiert de nouveaux outils théoriques.

Ce cours aborde le cas des surfaces qui interviennent dans les multiples applications de la visualisation d’objets tridimensionnels. Mailler une surface consiste à échantillonner la surface et à relier ces points de façon à former une surface triangulée dans l’espace de dimension 3. Il faut tout d’abord caractériser un bon échantillon d’une surface : on comprend que pour offrir des garanties, l’échantillon doit être suffisamment dense et d’autant plus dense que la forme qu’on veut mailler est complexe. Il faut ensuite préciser les critères d’approximation qu’on attend d’un maillage, à la fois géométriques et topologiques. Reste à construire un bon maillage. On montre qu’on peut adapter la notion de triangulation de Delaunay et construire un algorithme de maillage de surface qui offre des garanties théoriques et se comporte très bien en pratique.