Résumé
Les systèmes de particules se décrivent naturellement de façon lagrangienne : les inconnues (positions, vitesses...) sont afférentes aux entités, numérotées une fois pour toute, et le cadre euclidien dans ce cadre lagrangien est très adapté aux lois de la mécanique classique.
Lorsque l’on cherche à décrire le mouvement d’un continuum de matière à l’échelle macroscopique, le cadre eulérien est le plus naturel, c’est selon cette approche que sont écrites les équations aux dérivées partielles pour les milieux continus, pour lesquelles les espaces fonctionnels (typiquement espaces de Sobolev) sont d’inspiration eulérienne.
Le cadre du transport optimal quadratique, qui induit une métrique basée sur les déplacements de matière (variations / vitesses horizontales dans l’espace-temps), permet d’injecter dans la description macroscopique un caractère lagrangien, de retrouver le caractère hilbertien de la mécanique classique, et ainsi d’utiliser des techniques de démonstration proches de celles utilisées pour les systèmes de particules discrets.
Nous illustrerons ces considérations à travers des modèles microscopique et macroscopique de mouvements de foule, ainsi des modèles de milieux granulaires / gaz sans pression avec contrainte de congestion, et nous montrerons que cette approche du transport optimal n’est que partiellement lagrangienne, ce qui confère à l’espace de Wasserstein des propriétés particulières et empêche une transposition parfaite du cadre micro vers le cadre macro.
