Résumé
La quatrième leçon a poursuivi l’étude du clonage en décrivant comment produire M copies approchées d’un qubit unique dans un état pur, puis de façon plus générale, M copies à partir de N qubits identiques tous dans le même état pur. Généralisant les résultats de la leçon précédente, nous avons montré que le clonage optimal de 1 vers M qubits peut être obtenu en préparant les M qubits dans un état résultant de la symétrisation par échange entre qubits du produit tensoriel de l’état du qubit à cloner avec M-1 qubits dans un état complètement dépolarisé, décrit par une matrice densité proportionnelle à l’unité. Cette opération de symétrisation est précisément réalisée, dans le cas du clonage de un qubit dans deux, par le circuit logique décrit à la leçon précédente. Dans le cas plus général du clonage de un vers M qubits avec M > 2, la symétrisation peut être réalisée par une opération unitaire sur un système associant une machine à cloner au système des M qubits, suivie d’une trace sur l’état de cette machine. Nous avons montré que la fidélité de clonage ainsi obtenue, égale à (2M + 1)/3M, tend vers 2/3 lorsque M tend vers l’infini, un résultat en accord avec la fidélité optimale de l’estimation d’un qubit. Une procédure d’estimation peut en effet consister à commencer par cloner un qbit en un nombre infini de copie avant de mesurer avec une précision arbitrairement grande, l’état de ces copies. L’opération de symétrisation étant une opération collective sur les qubits, nous avons ainsi retrouvé que les procédures d’estimation collectives sont plus efficaces que l’accumulation de mesures indépendantes sur les qubits. Nous avons ensuite généralisé la procédure au clonage de N vers M qubits en exploitant à nouveau la méthode de symétrisation. Nous avons montré que la fidélité obtenue, F = (MN + M + N)/M(N + 2) généralise au cas N > 1 le résultat (2M + 1)/3M obtenu pour N = 1 et nous avons discuté ce résultat général en relation avec la théorie de l’estimation optimale, illustrant à nouveau la cohérence interne de la théorie quantique.
