Résumé
Un groupe de symétrie permet d’éliminer une source de variabilité des données, qui n’apporte pas d’information pour un problème de régression ou de classification. Le cours a introduit la notion de groupe de Lie. Il considère le cas du groupe multiplicatif et de translation, ainsi que le groupe des difféomorphismes qui déforme les supports temporels ou spatiaux des signaux. On peut utiliser la connaissance d’un groupe de symétrie en définissant une représentation des données qui est invariante par l’action du groupe. On définit la notion d’invariant canonique à partir des orbites de l’action du groupe.
Lorsque l’on ne connaît pas le groupe de symétrie mais que l’on sait qu’il appartient à un certain groupe de grande dimension, on peut construire des invariants avec des projecteurs linéaires si on a linéarisé l’action du plus grand groupe. C’est la stratégie utilisée pour apprendre des invariants par déformation et donc relativement à l’action d’un sous-groupe du groupe des difféomorphismes. Cette linéarisation peut se faire au 1er ordre avec un développement limité sur des fonctions régulières, mais ce n’est pas suffisant lorsque les fonctions sont irrégulières.
La réduction de dimension peut aussi se faire en construisant des représentations parcimonieuses. De telles représentations s’obtiennent en décomposant les données avec un opérateur linéaire, appelé dictionnaire, et en sélectionnant les coefficients de plus grande amplitude. Ces dictionnaires, qui peuvent être appris, sont interprétés comme des ensembles de paternes discriminantes dans un problème de classification.
