La combinatoire est un domaine des mathématiques un peu paradoxal, car elle est à la fois simple et complexe, pauvre et riche, facile et difficile, pure et appliquée. Pour être plus précis, il y a des problèmes qui sont simples à énoncer, mais qui ont des solutions complexes ; nous utilisons des hypothèses faibles, mais les conséquences sont souvent d'une richesse surprenante ; les démonstrations peuvent être courtes et faciles à comprendre, mais ingénieuses et difficiles à découvrir ; et les objets que nous étudions, comme les graphes ou les familles de sous-ensembles d'un ensemble fini, sont d'intérêt purement mathématique, mais les résultats les concernant ont des applications dans beaucoup d'autres domaines, tels que l'informatique, l'économie ou l'épidémiologie.

Un des sous-domaines les plus importants de la combinatoire est la théorie des graphes. Un graphe est une collection de sommets, dont certains sont liés par des arêtes. Les graphes peuvent être utilisés pour représenter un large éventail de phénomènes du monde réel. Par exemple, les sommets pourraient représenter des sites web, et les arêtes, les liens entre les sites. Ou les sommets pourraient représenter des gens et les arêtes les transmissions potentielles du Covid. En général, les graphes représentent d'une façon abstraite des réseaux : les sommets représentent les objets du réseau et les arêtes représentent les relations entre ces objets.

Un autre sous-domaine, la combinatoire additive, concerne la structure additive des ensembles d’entiers et les relations additives entre leurs éléments. L’un des points forts de ce sous-domaine est un célèbre théorème du mathématicien Endre Szemerédi, selon lequel tout ensemble dense d’entiers contient des progressions arithmétiques de toutes longueurs.