Le cours de cette année a porté essentiellement sur les systèmes hyperboliques du premier ordre appelés « lois de conservation scalaires ». Une littérature considérable existe sur ce sujet depuis les travaux de P. Lax, O. Oleinik et la théorie importante de S. N. Kruzkhov jusqu’à des développements récents. Le cours a développé quelques aspects de travaux récents et en cours réalisés en collaboration avec P. E. Souganidis. Notre projet de recherche est de revoir entièrement la théorie connue avec de nombreuses extensions sur le type de solutions, leur définition, la régularité des données, les comportements à l’infini ainsi que les conditions aux limites. Signalons qu’outre les conditions aux limites classiques, nous en introduisons de nouvelles (solutions saturées ou solutions conservatives...) Dans ce résumé de cours, nous nous contenterons de donner quelques exemples des résultats énoncés et démontrés dans le cours.
Il est inutile de rappeler en détail l’importance pour les applications des lois de conservation. Indiquons simplement qu’outre l’intérêt intrinsèque de ces questions, il nous semble utile d’amener la théorie des lois de conservation scalaires à un niveau de compréhension comparable à celui qui existe pour les équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre (atteint grâce à la théorie des solutions de viscosité). Et ce d’autant plus que les liens entre les deux classes d’équations sont étroits puisque, au moins en dimension 1 d’espace, on passe formellement de l’une à l’autre par simple intégration ou dérivation. En outre, la théorie des jeux à champ moyen (« Mean Field Games ») conduit aussi à l’étude de classes de systèmes hyperboliques pour lesquelles nos résultats sont pertinents.