Résumé
On étudie l’approximation de signaux et d’images avec des représentations parcimonieuses dans une base d’ondelettes ainsi que l’application à la compression d’images. La vitesse de décroissance des coefficients d’ondelettes dépend de la régularité locale du signal. Les coefficients d’ondelettes d’une fonction régulière par morceaux ont une grande amplitude au voisinage des singularités. On relie la vitesse de décroissance de l’erreur d’approximation non linéaire dans une base d’ondelettes à la régularité locale du signal, et à la parcimonie de ses coefficients. La régularité locale s’exprime par l’appartenance à des espaces de Besov qui sont caractérisés par les normes lp des coefficients d’ondelettes. Pour des images, l’erreur d’approximation dans une base d’ondelettes dépend de la longueur des contours le long desquels l’image est discontinue.
Un algorithme de compression dans une base d’ondelettes commence par quantifier les coefficients d’ondelettes du signal puis code leurs valeurs sous forme binaire avec un codage entropique. Pour des représentations parcimonieuses, on démontre que le nombre de bits nécessaires est proportionnel au nombre M de coefficients non nuls dans la base. L’erreur introduite par la quantification des coefficients peut aussi être reliée à M, et donc au nombre de bits utilisés par le code. Le standard de compression d’images JPEG-2000 est implémenté par un tel algorithme dans une base d’ondelettes.
