Résumé
Le cours introduit la construction des bases d’ondelettes orthogonales ainsi que l’algorithme rapide pour calculer les coefficients de décomposition en ondelettes. On obtient une base d’ondelettes à partir d’une multirésolution en calculant le complément orthogonal Wj de Vj dans Vj-1. Chaque espace Wj admet une base orthonormée en dilatant une ondelette mère par 2j et en la translatant. L’union de ces bases à toutes les échelles 2j définie une base orthonormée d’ondelettes de l’espace L2. Ces ondelettes se construisent à partir du filtre passe-bas h qui spécifie chaque multirésolution, en introduisant un nouveau filtre g passe-bande qui dépend de h. Ces filtres satisfont une condition de quadrature qui est suffisante pour générer des bases orthonormées d’ondelettes. L’algorithme rapide calcule les coefficients d’ondelettes à travers les échelles en itérant des convolutions avec h et g suivis de sous-échantillonnages.
En dimensions multiples, les bases d’ondelettes s’obtiennent avec un produit tensoriel d’ondelettes d’une seule variable. En deux dimensions pour des images, la base s’obtient avec 3 ondelettes qui capturent les variations de l’image dans des directions différentes, à chaque échelle 2j.
