Résumé
On s'intéresse à la question du comptage des représentations automorphes cuspidales et autoduales de GL(n) sur Q qui sont non ramifiées en tous les nombres premiers et algébriques de poids distincts donnés. Grâce aux travaux d'Arthur, il revient essentiellement au même de compter les multiplicités des séries discrètes réelles dans les espaces de formes automorphes de niveau 1 des groupes classiques sur Q non ramifiés partout, un problème toutefois également difficile. Cette approche a permis ces dernières années de donner des formules exactes pour ce comptage jusqu'en dimension n=24 (Chenevier-Renard, Taïbi, Chenevier-Taïbi). Des applications potentielles à la cohomologie cuspidale de GL_n(Z) et aux réseaux euclidiens donnent envie de pousser ces calculs en dimension un peu plus grande. Dans cet exposé, je revisiterai brièvement les travaux ci-dessus, puis je tenterai d'expliquer un travail récent avec Olivier Taïbi dans lequel nous parvenons à utiliser des groupes orthogonaux définis ramifiés pour résoudre le cas n=26. Un ingrédient clé est la classification, nouvelle, des réseaux unimodulaires (impairs) de dimension 29, et de certains réseaux non unimodulaires (mais pairs) de rang inférieur.
