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Résumé
Nous poursuivons l'étude des grands graphes réguliers aléatoires en décrivant leur diamètre. Nous démontrons aussi le théorème de B. Bollobás : le nombre de géodésiques fermées de longueur donnée, sur un tel graphe, suit asymptotiquement une loi de Poisson.
On introduit ensuite brièvement un autre modèle de graphes aléatoires, construit par revêtements aléatoires, avant de passer aux surfaces hyperboliques. Dans ce cours, nous considérons le modèle de Brooks-Makover obtenu en recollant aléatoirement des triangles hyperboliques idéaux.
Références
B. Bollobás, Random graphs, Cambridge University Press. Preuve du Corollaire 2.19. Chapitre 10 : diamètre des grands graphes réguliers aléatoires.
C. Bordenave, B. Collins, Eigenvalues of random lifts and polynomials of random permutation matrices, Annals of Math. 2019. Modèle de revêtements aléatoires : paragraphe 1.5.
R. Brooks, E. Makover, Random Construction of Riemann Surfaces. J. Diff. Geom. 2004, énoncé des principaux résultats.
M. Magee, letter to B. Petri, https://www.mmagee.net/diameter.pdf : lien entre trou spectral et diamètre d'une surface hyperbolique.
B. Petri, Random regular graphs and the systole of a random surface, J. Topology 2017, énoncé du théorème B.
