Résumé
Le but du cours de cette année est de décrire les surfaces hyperboliques aléatoires, leur géométrie et leur spectre.
Nous évoquerons aussi les graphes réguliers aléatoires, dont la combinatoire et la théorie spectrale sont à maints égards analogues à celles des surfaces hyperboliques. Dans cette séance, nous introduisons la méthode probabiliste de Paul Erdös, et définissons plusieurs modèles de graphes réguliers aléatoires. Nous nous intéressons principalement à leur constante de Cheeger et leur trou spectral, mais aussi à leur systole et leur diamètre.
Références
P. Erdös, Graph theory and probability. Canadian Journal of Math. 1959. Preuve de l'inégalité (4)
B. Bollobás, The isoperimetric number of random regular graphs, Eur. Journal of Combinatorics 1988
P. Diaconis, D. Stroock, Geometric bounds for eigenvalues or Markov chains, Ann. Appl. Probab. 1991. Proposition 6 (inégalité de Cheeger).
J. Friedman, A Proof of Alon’s Second Eigenvalue Conjecture and Related Problems. Memoirs of the AMS 2008. Introduction (Partie 1, définition des modèles de graphes réguliers aléatoires)
