Le cours, suite de celui de l’an dernier, poursuit la présentation d’une théorie nouvelle appelée théorie des « jeux à champ moyen », élaborée en collaboration avec M. Jean-Michel Lasry. L’objectif de cette théorie est d’introduire, de justifier, d’analyser et d’appliquer dans différents contextes une nouvelle classe de modèles mathématiques permettant d’étudier le comportement collectif d’un très grand nombre d’agents en interaction (ou de joueurs au sens de la théorie des jeux) qui tous souhaitent « optimiser » leurs décisions.
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Cette année, le cours a porté sur le cadre théorique mathématique nécessaire à la justification (rigoureuse) de la limite quand le nombre de joueurs N tend vers l’infini. Ce cadre mathématique permet de comprendre le comportement asymptotique des fonctions symétriques d’un grand nombre de variables et de leur calcul différentiel, ainsi que des solutions symétriques d’EDP en très grande dimension. Signalons le travail antérieur d’A. Grunbaum [1] qui contient une esquisse du cadre général abstrait que nous introduisons, et les considérations heuristiques d’A. Matytsin [2]. Enfin, indiquons que les résultats que nous présentons s’appliquent à de nombreux autres sujets que la théorie des jeux à champ moyen : EDP à N variables quand N tend vers l’infini, grandes déviations pour des EDP stochastiques, théorie du transport et systèmes de particules (éventuellement stochastiques) en interaction.