Le cours a porté sur une théorie nouvelle, élaborée en collaboration avec M. Jean-Michel Lasry, appelée théorie des « jeux à champ moyen ». L’objectif de cette théorie est de modéliser mathématiquement (et d’analyser ces modèles) des situations faisant intervenir un très grand nombre de joueurs rationnels (au sens de l’Économie, à savoir optimisant leurs décisions et actions), chaque joueur interagissant avec les autres « en moyenne » c’est-à-dire basant ses choix ou décisions sur le comportement moyen des autres joueurs. Ce type de situations se rencontre bien sûr en Économie et en Finance, où chaque agent-joueur optimise ses actions au vu d’informations globales à savoir moyennées sur l’ensemble des joueurs.
D’autres domaines d’applications concernent les transports et l’étude du trafic ou en Biologie et Écologie. Plus précisément, nous considérons des équilibres de Nash à N joueurs, faisons tendre N vers l’infini pour en déduire des modèles d’équilibre pour des continua de joueurs et analysons les systèmes d’Équations aux dérivées partielles (EDP en abrégé) non linéaires ainsi obtenues. Les équations que nous introduisons de cette manière sont très générales et contiennent, comme cas particuliers, de nombreuses autres équations classiques comme les équations elliptiques semi-linéaires, les équations de type Hartree de la Mécanique Quantique, les équations d’Euler de la Mécanique des Fluides, les modèles cinétiques du type équations de Vlasov ou de Boltzmann, les équations du transport optimal de masse (problème de Monge-Kantorovich) ou les équations d’Euler-Lagrange associées à des problèmes de contrôle optimal d’EDP…
La terminologie « champ moyen » provient de la Physique et de la Mécanique et il ne s’agit pas d’une simple analogie puisque notre approche contient effectivement comme cas particulier les théories de champ moyen classiques en Physique ou Mécanique (voir les exemples cités plus haut). De manière un peu vague, un cas particulier de notre théorie est celui où les joueurs n’ont plus de possibilité de choix et sont alors soumis passivement aux interactions avec le reste des joueurs comme des « particules » physiques ou des éléments de matière en Mécanique des Milieux Continus.
On réalise donc que la classe de modèles mathématiques que l’on obtient par cette approche de modélisation est extrêmement vaste et de très nombreuses questions d’Analyse Mathématique se posent, dont beaucoup restent à résoudre.
Signalons enfin une extension importante de la théorie telle que nous l’avons présentée jusqu’à présent. Implicitement, dans tout ce qui précède, nous considérons un ensemble homogène composé d’un très grand nombre de joueurs identiques. Il est souvent utile et réaliste d’introduire plusieurs catégories de joueurs (ou agents, ou organismes vivants…), chaque catégorie étant composée d’un très
grand nombre de joueurs identiques. De plus, le nombre total de joueurs (taille de la population) peut varier dans le temps (naissance et mort, échanges d’attributs...).
Les systèmes que nous introduisons dans ces cas contiennent alors comme cas particuliers des modèles de dynamique des populations ou de réactions chimiques…
Le cours, cette année, a été en quelque sorte une introduction à cette théorie nouvelle en se concentrant sur l’exemple le plus élémentaire de problèmes stationnaires pour des jeux simples d’évitement/regroupement.