Cette année le cours a porté sur la caractérisation de profils asymptotiques des solutions d’équations aux dérivées partielles correspondant à des modèles variés.
Ces profils asymptotiques ou correcteurs sont associés à des singularités, défauts ou interfaces... Nous supposerons toujours une dimension caractéristique notée E (> 0) pour ces défauts. Il est utile d’observer que, souvent pour des applications réalistes, ce paramètre e n’est pas « très petit » mais peut être de l’ordre de 0,1.
De plus, nous considèrerons systématiquement des situations où ces défauts de taille E sont présents dans des environnements périodiques dont la période est également d’ordre E. Noter qu’il s’agit en fait du seul cas intéressant car si la période est beaucoup plus grande, on peut considérer l’environnement comme indépendant de e, tandis que si la période est beaucoup plus petite il convient de résoudre ces oscillations avant toute chose par exemple en appliquant ou en tentant d’appliquer la théorie de l’homogénéisation.
Lorsque la période est effectivement d’ordre E, la théorie de l’homogénéisation permet de prendre en compte les oscillations de l’environnement sans défaut notamment par l’introduction de correcteurs périodiques. Le problème considéré est donc double : i) confirmer (ou infirmer) le fait que la présence du défaut ne modifie pas le problème limite (typiquement le problème homogénéisé) ; ii) déterminer, lorsque cela est possible, le comportement des solutions, en présence de défauts, par des correcteurs précisés.
Pour conclure cette introduction, mentionnons que, d’une certaine manière, notre approche permet de donner un sens précis à ce que les méthodes multi-échelles en calcul scientifique font (ou devraient faire...). D’autre part, le programme esquissé ci-dessus a été réalisé pour les modèles stationnaires classiques (équations et systèmes elliptiques, équations quasilinéaires, équations de Hamilton-Jacobi et optique géométrique, équations complètement nonlinéaires...) avec des adaptations aisées à des modèles dépendant du temps (équations de type chaleur, équation de Schrödinger ou équations des ondes – dans des « régimes basse fréquence »). Le principal problème ouvert concerne la propagation d’ondes avec une longueur d’onde d’ordre E également : on s’attend d’ailleurs dans ce cas à des phénomènes complexes qui n’ont pas été abordés rigoureusement pour l’instant.