Mon cours cette année est basé sur ma collaboration avec G. Landi et M. Dubois-Violette et a pour sujet les variétés non commutatives, dont on décrit de nombreux exemples concrets. Le problème essentiel est celui de la classification des variétés sphériques non commutatives et est apparu naturellement à propos de la dualité de Poincaré en K-homologie.
Le résultat principal est la classification complète des variétés sphériques non commutatives de dimension 3. Nous trouvons une déformation à trois paramètres de la 3-sphère standard S3 et une déformation correspondante de l’espace Euclidien R4.
Pour les valeurs génériques du paramètre de déformation nous montrons que l’algèbre obtenue (de polynomes sur la déformation de R4) est isomorphe à l’algèbre introduite par Sklyanin à propos des équations de Yang-Baxter. Des valeurs dégénérées du paramètre de déformation ne donnent pas des algèbres de Sklyanin et nous en extrayons une classe, les θ-déformations, que nous étudions en détails.
Nous montrons grâce aux θ-déformations que toute variété Riemannienne compacte spinorielle dont le groupe d’isométries est de rang r ≥ 2 admet une déformation isospectrale en une famille à un paramètre de géométries non commutatives, vérifiant tous les axiomes que j’avais introduits en 1996.