Les variétés hyper-kählériennes sont les généralisations naturelles des surfaces K3. Comme pour les tores complexes, ces variétés existent naturellement dans le cadre kählérien compact mais celles qui sont projectives et relèvent donc de la géométrie algébrique sont denses dans l’espace de modules. Si l’on se restreint aux variétés hyper-kählériennes projectives, leur étude est liée (par l’étude des espaces de modules via l’application des périodes) aux variétés de Shimura et aux formes automorphes. Le cours introduit les résultats de théorie de Hodge et de théorie des déformations nécessaires pour montrer que les déformations des variétés kählériennes compactes à fibré canonique trivial (en particulier les variétés hyper-kählériennes) sont non obstruées et que l’application des périodes est un isomorphisme local sur le domaine des périodes, lequel est défini par la forme de Beauville-Bogomolov dont l’existence est une propriété topologique remarquable de ces variétés et a des conséquences considérables sur leur topologie. On énonce différentes versions des théorèmes de Torelli. Outre la théorie de Hodge, les deux aspects suivants du sujet sont abordés :
- géométrie différentielle complexe : métriques de Kähler-Einstein, structure quaternionique, et « twistor lines » ;
- géométrie algébrique : construction de variétés hyper-kählériennes et étude de leur classe de déformation.