La théorie de Hodge fournit les notions de « structure de Hodge », développée par Griffiths, et de « structure de Hodge mixte » introduite par Deligne. C’est un outil puissant pour étudier la topologie des (familles de) variétés algébriques complexes et ce cours en présente les principaux résultats, ainsi que certaines applications récentes. Il y a trois aspects différents de la théorie de Hodge. Le premier aspect, évoqué rapidement dans ce cours, est le recours à des méthodes d’analyse (formes harmoniques) pour montrer le théorème de décomposition de Hodge, le lemme ddbar et les théorèmes d’annulation, ainsi que le théorème de Lefschetz difficile. On en admet les résultats qui sont le point de départ de la théorie. Le deuxième aspect, développé par Deligne, est alors purement formel : il consiste à dégager puis exploiter les propriétés de la catégorie des structures de Hodge polarisées et celle de la catégorie des structures de Hodge mixtes afin de montrer des résultats profonds sur la topologie des variétés algébriques et leurs familles.
Le troisième aspect fondamental du domaine est l’interaction entre données transcendantes (topologie) et données algébriques (cycles algébriques). La théorie de Hodge, c’est-à-dire la connaissance des structures de Hodge, ou même seulement des nombres de Hodge, nous donne conjecturalement un moyen de mesurer le coniveau, c’est-à-dire la codimension du support de la partie transcendante de la cohomologie. Selon Bloch et Beilinson, celui-ci pourrait également être calculé via l’étude des groupes de Chow. La troisième partie de ce cours explique comment ces conjectures se formulent via la notion de « décomposition de la diagonale » et décrit quelques progrès récents.