Des structures de symétrie exceptionnelles apparaissent de manière tout à fait inattendue dans l’étude du comportement des solutions des équations du champ gravitationnel (équations d’Einstein ou leurs généralisations supersymétriques) au voisinage d’une singularité de genre espace (singularité de type cosmologique ou « big bang »). Dans cette limite où les champs divergent, la dynamique est contrôlée par des groupes de Coxeter infinis hyperboliques. Le cas le plus spectaculaire est celui de la supergravité maximale où la limite fait apparaître le groupe de Coxeter E(10) qui possède des propriétés remarquables.
Ces groupes de Coxeter sont étroitement liés aux extensions de Kac-Moody des groupes de symétries mis en évidence par la réduction dimensionnelle et aux groupes de dualité de la théorie des cordes. Le fait qu’ils soient infinis est une conséquence directe de la présence de la gravitation parmi les champs dynamiques.
Ces symétries sont inattendues car non visibles dans la formulation Lagrangienne de départ de la théorie. On parle de « symétrie cachée ».
Le cours de cette année sera consacré à l’étude de l’émergence de ces structures de symétrie remarquables, de leurs propriétés et de leurs implications.
Questions abordées :
- Équations d'Einstein au voisinage d'une singularité cosmologique – analyse de Belinski-Lifshitz-Khalatnikov
- Billards cosmologiques – premier contact avec les groupes de Coxeter hyperboliques
- Généralisation aux supergravités
- Réduction dimensionnelle et symétries cachées
- Dualité gravitationnelle
- Groupes de Coxeter hyperboliques
- Algèbres de Kac-Moody hyperboliques
- Développements récents