La théorie homologique duale de la K théorie topologique, appelée K homologie et notée Ki (X) (i = 0,1) se décrit (grâce aux travaux de Atiyah, Brown-Douglas-Fillmore et Kasparov) à partir de la notion de module de Fredholm sur l'algèbre A = C (X) des fonctions continues sur X . Le but de mon cours cette année était d'étudier dans le cas particulièrement simple où X = S1, l'analogue mutiplicatif de la notion de module de Fredholm sur A. La deuxième quantification avec la statistique de Fermi-Dirac permet de construire l'analogue multiplicatif de la classe fondamentale de S1 en K homologie.
Nous montrons ensuite comment construire d'autres modules de Fredholm multiplicatifs sur A à partir des C* algèbres de V. Jones et A. Ocneanu (*).
(*) Cette construction est un travail effectué en collaboration avec D. Evans.