Courbes de Teichmüller et surfaces modulaires de Hilbert

La théorie des courbes de Teichmüller, qui mélange des éléments de la géométrie algébrique complexe et de la théorie des systèmes dynamiques, a vu un développement spectaculaire dans les dernières années, grâce aux travaux de C. McMullen et d’autres chercheurs. en particulier, dans le cas de genre 2, il y a une classification complète de ces courbes, due à K. Calta et à McMullen. Cette classification implique que les courbes de Teichmüller en genre 2 sont toujours contenues dans des surfaces modulaires de Hilbert, ce qui permet en principe une approche par les méthodes venant de la théorie des nombres et de la théorie des formes modulaires. Une telle approche a été développée par M. Möller et moi-même et était le sujet du cours de cette année, certains des résultats ayant déjà été présentés dans le cours de 2008-2009. on obtient en particulier une description des courbes de Teichmüller sur une surface modulaire de Hilbert donnée comme l’ensemble des zéros de la dérivée d’une certaine fonction thêta. Cette description explicite permet de mieux comprendre et de démontrer de façon beaucoup plus simple qu’avant les principaux résultats de la théorie obtenus dans les travaux de McMullen et de M. Bainbridge.