Résumé
La base orthogonale de Fourier joue un rôle particulier pour représenter des signaux car elle diagonalise les opérateurs linéaires qui sont covariants par translation. Ces opérateurs sont des convolutions que l’on appelle « filtrage » en traitement du signal. Ce cours revoit la définition et les propriétés des séries de Fourier ainsi que de l’intégrale de Fourier, en montrant le lien entre la décroissance des coefficients de Fourier et la régularité d’une fonction.
Le théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon est présenté comme un théorème d’approximation linéaire dans la base de Fourier où la fonction est approximée par une projection orthogonale sur les basses fréquences. Cette approximation peut se réécrire dans une base de sinus cardinaux. On montre l’effet des erreurs aux hautes fréquences, que l’on appelle aliasing.
Le théorème d’échantillonnage est ensuite généralisé en remplaçant l’espace d’approximation et la base de sinus cardinaux par d’autres espaces générés par d’autres bases orthogonales, comme les espaces de fonctions constantes par morceaux ou de splines linéaires.
