J'ai expliqué dans ma leçon inaugurale comment les notions classiques de 1) la théorie de la mesure ; 2) la topologie des espaces localement compacts et 3) la théorie des courants de de Rham sont remplacées dans le cas non commutatif par 1) les algèbres de von Neumann ; 2) les C* algèbres ; 3) la cohomologie cyclique. J'ai suivi un plan analogue dans mon cours et faute de temps je n'ai pu traiter que 1) et 2). J'ai donc commencé par la théorie modulaire des algèbres de von Neumann. Comme il ne s'agissait pas d'un public de spécialistes mon but, dans cette partie du cours, était de traiter entièrement la théorie modulaire, avec toutes les démonstrations, dans le cas où l'algèbre de von Neumann M est construite à partir d'une situation géométrique : action d'un groupe par difféomorphismes ou variété feuilletée. On peut dans ce cas, décrire explicitement l'élément générique de M, ainsi que tous les états normaux fidèles sur M de sorte que l'on peut calculer directement tous les groupes d'automorphismes modulaires et vérifier tous les résultats de la théorie modulaire. Dans la deuxième partie du cours j'ai montré comment la C* algèbre associée à un feuilletage s'introduit de manière nécessaire quand on étudie les propriétés spectrales des opérateurs différentiels sur les variétés non compactes feuilles d'un feuilletage de variété compacte. J'ai ensuite introduit la classe d'Euler longitudinale d'un feuilletage arbitraire comme élément de K0 (C* (V, F)) et montré son invariance par homotopie longitudinale. Le cours s'est terminé avec le théorème de l'indice longitudinal [à valeurs dans K0 (C* (V, F))] et son corollaire pour les feuilletages avec mesure transverse.
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