Résumé
Dans les années 1920, une théorie mathématique (la diagonalisation des matrices) et une question physique (la détermination du spectre des atomes), nées indépendamment, se sont rejointes pour donner naissance à la mécanique quantique, et à la branche des mathématiques appelée « théorie spectrale ».
La théorie spectrale intervient à chaque fois que l’on doit étudier une équation d’évolution linéaire : elle permet de décomposer les solutions de l’équation comme superposition de solutions stationnaires, appelées « modes propres », vibrant à certaines fréquences dites « fréquences propres ». Les fréquences propres constituent le « spectre ». C’est ainsi qu’un son se décompose en superposition d’harmoniques, ou que la lumière est une superposition de couleurs.
Une question toujours au coeur de la théorie spectrale est de savoir distinguer le spectre discret du spectre continu, et de déterminer où les mode propres sont localisés. La théorie spectrale est un domaine de l’analyse mathématique où l’on doit en permanence travailler dans des espaces de dimension infinie, ce qui rend les calculs très abstraits. Cependant, pour les besoins de la physique, ou simplement parce que l’on a besoin de garder une intuition géométrique des phénomènes, on cherche à comprendre le lien entre la géométrie initiale du problème (la forme d’un instrument de musique, la description planétaire de l’atome,…) et le spectre de l’objet. C’est la raison d’être de la géométrie spectrale.
La leçon expliquera l’histoire du domaine, quelques grands thèmes de recherche passés et actuels, ainsi que mes contributions.
