Dualité des fibrations de Hitchin et endoscopie

La fibration de Hitchin est un système complètement intégrale algébrique qui a d'abord apparu en mathématiques physiques. Ce système doté d'une géométrie particulièrement riche a émergé comme un objet central dans le programme de Langlands géométrique, dans des travaux de Beilinson-Drinfeld, Laumon, Witten, en particulier par le biais d'une dualité remarquable entre les fibrations de Hitchin des groupes duaux an sens de Langlands, découverte par Hausel-Thaddeus et Donagi-Pantev. Il a également joué un rôle central dans la démonstration du lemme fondamental de Langlands-Shelstad dans le programme de Langlands arithmétique. Cette première démonstration est la combinaision d'une étude fine de la géométrie de la fibration de Hitchin inspirée par la théorie d'endoscopie automorphe et celle du théorème de décomposition de Beilinson-Bernstein-Deligne dans ce cadre particulier. Récemment, Groechenig, Wyss et Ziegler ont proposé une nouvelle démonstration du lemme fondamental basée aussi sur la géométrie de de la fibration de Hitchin mais au lieu de l'étude difficile des faisceaux pervers dans la décomposition de Beilinson-Bernstein-Deligne, ils font appelle à l'intégration p-adique. Au-delà de cette innovation technique, la dualité des fibrations de Hitchin joue un rôle majeur dans cette nouvelle preuve. Mon cours portera sur ces développements en mettant l'accent sur ce phénomène de dualité dans les fibrations de Hitchin.