Théorie et applications des fausses formes modulaires

Dans sa célèbre dernière lettre à Hardy, envoyée juste trois mois avant sa mort prématurée en 1920, Ramanujan lui fait part de sa découverte d’une nouvelle classe de fonctions qu’il appelle les « mock ϑ-functions » et dont il est convaincu que « they enter into mathematics as beautifully as the ordinary ϑ-functions » – c’est-à-dire, dans la terminologie moderne, que les formes modulaires classiques. Pendant plus de 80 ans ces objets sont restés mystérieux, mais en 2002 la propriété décisive des fonctions trouvées par Ramanujan a été décelée par Sander Zwegers, et, depuis cette date, il y a eu une véritable explosion d’activité, avec des développements théoriques du sujet et de nombreuses applications en divers domaines des mathématiques et de la physique théorique, et on peut dire maintenant que la prédiction de Ramanujan s’est avérée juste. Les fausses formes modulaires (mock modular forms), pour leur donner leur nom actuel, ont déjà été traitées de façon périphérique dans le cours de 2005-2006, et elles ont été traitées aussi dans la partie du cours de 2011-2012 qui a eu lieu en Corée du Sud. Dans le cours de cette année, la théorie a été présentée beaucoup plus en détail, avec l’accent mis sur les liens avec la théorie des formes modulaires de Jacobi et les applications motivées par la physique (théorie des cordes des trous noirs). Tous les résultats présentés sont contenus dans un article de 150 pages (arXiv:1208.4074) écrit avec Atish Dabholkar et Sameer Murthy qui paraîtra sous forme de monographie.